Explicação | Fatoração | Matemática

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio:
      ax + ay  » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
                        Forma fatorada
Exs : Fatore:
a) bx + by - bz = b.(x+y-z)
b) 
c) 
d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
e) 
2) Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:
                            ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
                            a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
                            (x+y).(a+b)
Ou seja:  ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Exs: Fatore:
a) 
     x é fator    a é fator    (x-3) é fator comum     Forma
     comum      comum                                      fatorada
b)   é fator    é fator     (2+a) é fator comum      Forma
  comum      comum                                          fatorada

3) Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
Assim:     
Exs: Fatore:
a) 
b) 

c) 
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios () e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
                   
Assim:
         
           |                |
                  
           |                |
          2x               3y
           |__________|
                   |
          2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de 
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
            =  » forma fatorada
                  |_______________|
                            Sinal
Logo:     =  » forma fatorada
                  |_______________|
                             Sinal
Exs:
a) 
b) 
*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:
a) 
b) 
Outros casos de fatoração:
1) 
2) 
3)